情報数学 I

第十四回 (2014年1月17日)

証明の方法
Proof Methods

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2013/Math1/lecture14.html

© 2006-14 Martin J. Dürst 青山学院大学

今日の予定

• これからの予定
• 証明の方法
• 数学的帰納法
• 授業改善のための学生アンケート

これからの予定

• 1月24日 (金): 15回目の授業
• 1月31日 (金) 11:10-12:35: 期末試験

Google Chrome 内の過去問の表示について: 拡張 (例: Style Chooser) の追加が必要

配布テキストについて

• (有名な) 言語理論の教科書から
  言語理論やオートマトン理論についての語句は無視してよい
• 一般的で分かりやすいので配布
• たまに違う「方言」を使用
• 期末試験の範囲に含まれる

証明の大切さ

• 数学の重要な道具
  できるだけ少ない公理や定義からできるだけ多くのことを証明
• 情報テクノロジー
  • データ構造の性質の証明
  • アルゴリズムの正しさや性質の証明
  • プログラムの正しさや性質の証明
  • プログラムの変換の正しさの証明

どこまで証明すればよいか

• 直感
• (プログラムの) テスト
• 証明の細かさ:
  • 粗い証明
    例: x + (y + 1) =^(算術) (x + 1) + y
  • 細かい証明
    例: x + (y + 1) = ^{(足し算の交換律)} x + (1 + y) =
    =^{(足し算の結合律)} (x + 1) + y
• 証明の表現:
  • 文書中心の証明
  • 式中心の証明
  • 機械で確認可能な証明

証明の方法

• 演繹的証明 (deductive proof, proof by deduction)
• 帰納的証明 (inductive proof, proof by induction)
• 背理法 (proof by contradiction)
• 反例による証明 (proof by counterexample)
• 集合についての証明 (proof about sets)
• 列挙による「証明」(proof by enumeration)

証明と記号論理

(S は証明する命題や述語)

• 演繹的証明: (H ∧ (H→S)) ⇒ S など
• 帰納的証明: S(0) ∧ (∀k∈ℕ: S(k) → S(k+1)) ⇒ (∀n∈ℕ: S(n)) など
  
• 背理法: (¬S→S) ⇒ S
• 反例による証明: (∃x: ¬S(x)) ⇒ ¬∀x: S(x)
• 列挙による「証明」: 例: 真理表

演繹と帰納

演繹 (deduction): 一般の原理から特定な場合を推論

帰納 (induction): 少数の事実から一般の原理を推測

数学的帰納法 (mathematical induction)

目的: ある構造の部分の (殆ど) 全てについての証明

「ある構造」は自然数が多いが、木なども

数学的帰納法は一般の分類では帰納ではなく演繹

数学的帰納法の応用

情報テクノロジーでの数学的帰納法の応用:

• アルゴリズムやデータ構造の設計や性質の証明
• プログラムについての証明
  
  • 繰り返し
  • 再帰

数学的帰納法の二つのステップ

S(0) ∧ (∀k∈ℕ: S(k) → S(k+1)) ⇒ (∀n∈ℕ: S(n))

1. 基底 (basis (step), base case; S(0) の証明)
2. 帰納 (induction, inductive step/case, (∀k∈ℕ: S(k) → S(k+1)) の証明)
   
   • 仮定 ((inductive) hypothesis; S(k) の明記)
   • 帰納の証明自体 (技法: 式の操作により、仮定を使える形に変換)

Simple Example of Mathematical Induction

Look at the following equations:

1 = 1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Express the general rule contained in the above additions as a hypothesis.

Prove the hypothesis using Mathematical induction.

Hypothesis

• The right side of the equations is m²
• The left side is the equations is the sum of m consecutive odd numbers, starting with 1
• Hypothesis: For n≥0, ∑ⁿ_i=0 2i+1 = (n+1)²

Proof

Basis:

Prove the property for n = 0: ∑⁰_i=0 2i+1 = 1 = 1²

Induction:

Inductive assumption: Assume that the hypothesis is true for some k≥0: ∑^k_i=0 2i+1 = (k+1)².

Show that the property is true for k + 1: ∑^(k+1)_i=0 2i+1 = (k+2)²:

(k+2)² [start with right side]
= k² + 4k + 4 [expansion]
= k² +2k +1 +2k + 3 [arithmetic]
= (k+1)² + 2(k+1) + 1 [arithmetic]
= ∑^k_i=0 (2i+1) + 2k + 3 [use hypothesis]
= ∑^k_i=0 (2i+1) + 2(k+1)+1 [property of ∑]
= ∑^(k+1)_i=0 2i+1 Q.E.D.

数学的帰納法の種類・変更

• 基底を S(0) ではなくて S(1) や S(2)、S(b) など
  S(b) ∧ (∀k∈ℕ, k≥b: S(k) → S(k+1)) ⇒ (∀n∈ℕ, n≥b: S(n))
  S(n) の代わりに T(n-b) を証明すると今までと同型
• S(k+1) の証明に j≤k の一部又は全てのP(j) を使用
  (strong induction 又は complete induction)
  S(0) ∧ (∀k∈ℕ: (∀i (0≤i<k): S(i)) → S(k+1)) ⇒ ∀n∈ℕ: S(n)
  又は(∀k∈ℕ: (∀i (0≤i<k): S(i)) → S(k+1)) ⇒ ∀n∈ℕ: S(n)
• 一部の自然数に限る (例えば偶数だけ、2ⁿ など)
• 自然数そのものではなく、自然数で整理できるものに応用する
• 枝分かれや他の構造を許す (条件: (半)順序)

演習問題

1. 次の証明のどこがおかしいのかを見つけて下さい。

• 全てのお互いに平行ではない平面上の直線 n 本は全て一つの点を共有する。

  証明:

  1. 基底: n=2 の場合に明らかである。
  2. 帰納: n+1 本の場合、最初の n 本にも、最後の n 本にも共通点があるので全ての n+1 本に共通点がある。

2. 来週質問したいことを考えて下さい。

復習

次回の授業の後半にみなさんの希望に応じて復習を予定

質問、疑問などなんでも結構

授業改善のための学生アンケート

お願い: 自由記述をできるだけ使って、具体的に書いてください

(例: 「英語をやめてほしい」のではなく、「日本語の部分で出てくる用語も Glossary に含めてほしい」など)

Glossary

hypothesis

仮説

equation

方程式

consecutive

連続的な

odd (number)

奇数

inductive assumption

(帰納の) 仮定