情報数学 I

第三回: 集合など (2013年10月 11日)

Martin J. Dürst

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2013/Math1/lecture3.html

今回の目次

前回のまとめ
前回の宿題
集合の概念と表現
部分集合、べき集合、全体集合
集合の演算
集合などの法則
今回の宿題

前回のまとめ

歴史的に、数は整数の 1, 2, 3 から
文化を超えて、1, 2, 3, 10 などの数字が類似
ペアノは「1」と「後者」についての公理だけから自然数の性質・演算を導いた
0 は遅く導入、数の位取り表現で大事な役割
位取り表現では様々な基数が使用可能
情報テクノロジ 2, (8,) 10, 16 が基数として多い

前回の冗談の宿題の解答

Q: Why do computer scientists always think Christmas and Halloween are the same ?

質問: なぜ情報テクノロジーの専門家はクリスマスとハロウィーンをいつも誤解するか。

[本年度のために削除]

もう一つの冗談

質問: 情報テクノロジーで還暦は何歳か

[本年度のために削除]

Moodle について

まだ授業登録できてない人は今日の午後に研究室に来ること!

集合の概念

(set)

関心・対象にしたい物事の集まり
条件:
- 集合に属するかどうか明確な判断が可能
- 集合に属する 2つのものが同一かどうかの判断が可能
  (同一の場合に一回しか集合に属さない)
集合に属するものは「元」もしくは「要素」という (element)
集合には大文字、元には小文字を使うのが多い
ある元 a がある集合 B に属する (含まれる) ことを a ∈ B (又はB ∋ a) と書く
(a is an element of set B; a is a member of set B; element a belongs to set B; set B contains element a)
含まない場合: a ∉ B や B ∌ a

集合の表現

外延的記法 (denotation):
元を波括弧 ({}) 内に列挙
例: {a, b, c}, {1, 2, 3, 4}, {1, 3, 5, 7,...}
内包的記法 (connotation):
元になる条件で定義
例: {n|n ∈ ℤ, n>0, n<5}

よく使う数の集合

ℕ: 自然数 (natural number(s))
ℤ: 整数 (integer(s))
ℚ: 有理数 (rational number(s); quotient))
ℝ: 実数 (real number(s))
ℂ: 複素数 (complex number(s))

集合の同一性

集合に同一のものは一回しか属さない
元の順番は任意
実例: {1, 2} = {2, 1} = {2, 1, 2} など

元の一貫性

物事には固体、種類、概念などがある
例:
- 種類の集合: {犬、猫、牛、馬、羊、山羊}
- 固体の集合: {コロ、もも、ワン、クロ、トラ}
集合には一貫性が不必要
例: {牛、嬉しさ、コロ、富士山}
集合も物事であるため、元になれる
例: {1, {1,2}, {{1}, {1, {1,2}}}}

全体集合

実際は一貫性の集合が多い
議論や計算の対処がある一定の領域に
限定され、集合の元に一貫性があるのが多い
例: 整数、この授業を取っている学生
その時、前提としている集合を全体集合
(普遍集合、universal set) という
全体集合を U と書くことが多い

Operation on Sets: Union

(also: sum)

The union of sets A and B is the set of elements that belong to A or B (or both).
The union of sets A and B is written A ∪ B.
Examples:
- A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 4, 6, 8, 10}; C = {1, 5, 6, 8, 9}
  A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
  
  A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}
  
  B ∪ C = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10}

Operation on Sets: Intersection

(also: product)

The intersection of sets A and B is the set of elements that belong to A and B.
The intersection of sets A and B is written A ∩ B.
Examples:
- A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 4, 6, 8, 10}; C = {1, 5, 6, 8, 9}
  A ∩ B = {2, 4}
  
  A ∩ C = {1, 5}
  
  B ∩ C = {6, 8}

Operation on Sets: Difference Set

(also: set difference)

The diffference set of sets A and B is the set of elements that belong to A but not to B.
The difference set of A and B is written A - B (or A ∖ B).
Examples:
- A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 4, 6, 8, 10}; C = {1, 5, 6, 8, 9}
  A - B = {1, 3, 5}; B - A = {6, 8, 10}
  
  A - C = {2, 3, 4}; C - A = {6, 8, 9}
  
  B - C = {2, 4, 10}; C - B = {1, 5, 9}

Operation on Sets: Complement

(complementary set)

The complement of set A is the set of all elements that do not belong to A (but belong to the universal set U).
The complement of A is written A^c.
Examples:
U = {1,...,10}; A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 4, 6, 8, 10}
A^c = {6, 7, 8, 9, 10}
B^c = {1, 3, 5, 7, 9}

Venn Diagram

Subset

A subset of a set A is a set of some of the elements of A.
We write B ⊂ A (B is a subset of A) or A ⊃ B (A is a superset of B)
For any (every) set A, A ⊂ A.
If B ⊂ A and B ≠ A, then B is a proper subset of A.

(Notation: Some authors use ⊂ for proper subsets, and ⊆ for subsets in general. Sometimes, ⊊ is also used for proper subsets.)

The Empty Set

The empty set is the set that contains no (zero) elements.
The empty set is written {} or ∅.
The empty set is a subset of every set.

Size of a Set

A finite set is a set with a finite number of elements.
The number of elements in a set A is written |A|.
Examples:
- |{dog, cat, cow, horse, sheep, goat}| = 6
- |{}| = 0
- |{n|n is a prime number smaller than or equal to 20}| = 8
- |{1, {1,2}, {{1}, {1, {1,2}}}}| = 3

Power Set

(also: powerset)

The power set of a set A is the set of all subsets of A.
The power set of A is denoted P(A).
P(A) = {B|B⊂A}
例:
- A = {1, 2}; P(A) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}
- B = {dog, cow, sheep}; P(B) = {{}, {dog}, {cow}, {sheep}, {dog, cow}, {dog, sheep}, {cow, sheep}, {dog, cow, sheep}}
- P({Mt. Fuji}) = {{}, {Mt. Fuji}}
- P({}) = {{}}

Size of Infinite Sets

All infinite subsets of ℕ and ℤ have the same cardinality
Example: |{1, 2, 3,...}| = |{1, 3, 5,...}|
Proof: 1↔1, 2↔3, 3↔5,...
This cardinality is denoted by א₀（アレフ・ゼロ）
|ℚ| is also א₀
|ℝ| > א₀; |ℝ| = א₁
|S| = א_n ⇒ |P(S)| = א_n² = א_n+1
It is unclear whether there is a cardinality between א₀ and א₁,... (Cantor's continuum hypothesis)

集合演算の法則

ベキ等律 (idempotent laws): A ∩ A = A; A ∪ A = A
交換律 (commutative laws): A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A
結合律 (associative laws): (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
分配律: (distributive laws): (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪(B ∩ C);
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
吸収律 (absorption laws): A ∩ (A ∪ B) = A; A ∪ (A ∩ B) = A
対合律 (involution law): A = (A^c)^c
排中律 (law of the excluded middle): A ∪ A^c = U
(無)矛盾律 (law of (non)contradiction): A ∩ A^c = {}
ド・モルガンの法則 (De Morgan's laws): (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c;
(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

演算の法則

演算 (operation) に色々な法則が考えられる

演算子 (operator) と被演算子 (operand) の種類によって成立が決定

よくあるパターン (雛形) の名前:

交換律 (commutative law)
結合律 (associative law)
分配律 (distributive law)
など

演算の法則の例

名前: 交換律 (commutative law)

パターン (△ は「何かの演算子」): a △ b = b △ a

成立の具体例:

a, b が整数、有理数、実数、又は複素数で △ が + 又は ·
a, b が集合で △ が ∩ 又は ∪

非成立の例:

整数などの -, /
行列の ·
集合の -

集合の限界

あらゆる集合の集合を U とし、二つの集合に分割 (A ∪ B = {}):
1. A: 自分を元に含む集合の集合 (A = {a|a ∈ U, a ∈ a})
2. B: 自分を元に含まない集合の集合 (B = {b|b ∈ U, b ∉ b})
B そのものは集合の集合なので U に属しているが、A か B かどちらに属しているだろう?
B ∈ A でも B ∈ B でも矛盾が生じる
似た例: 図書目録の場合、その目録自体が掲載されていない全ての目録の目録など

Glossary

(set) union: 和集合
(set) intersection: 積集合
difference set: 差集合
complement, complementary set: 補集合
Venn diagram: ベン図
subset: 部分集合
superset: 上位集合
proper subset: 真 (しん) の部分集合
empty set: 空 (くう) 集合
size of a set: 集合の大きさ
finite: 有限
finite set: 有限集合
infinite set: 無限集合
cardinality, cardinal number: 濃数
continuum hypothesis: 連続体仮説
prime number: 素数
power set: べき (冪) 集合
deduction of points: 減点
(mathematical) formula: (数学の) 式

今週の宿題

提出: 来週の木曜日 (10月17日) 19時00分締切; O 棟 529号室の前の箱に提出; A4 一枚 (両面可; 表紙なし) 厳守

名前と学生番号を忘れずに記述; 解答は読みやすい手書きのこと; 問題 5 の解答は日本語でもよいが、他の問題では日本語が使えません。

Create a set with four elements. If you use the same elements as other students, a deduction of points will be applied.
Create the powerset of the set you created in problem 1.

For sets A of size zero to six, create a table of the sizes of the powersets (|P(A)|). Example:

\|`A`\|	\|`P`(`A`)\|
0	?
1	?
...	?

Express the relationship between the size of a set A and the size of its powerset P(A) as a formula.
Explain the reason behind the formula in problem 4.

Create a table that shows, for sets A of size zero to five, and for each n (size of sets in P(A)), the number of such sets. Example:

\|`A`\|	`n`	\|{`B`\|`B`⊂`A` and \|`B`\|=`n`}\|
...	...	...
2	0	1
2	1	2
2	2	1
...	...	...