データ構造とアルゴリズム

第九回 (2014年11月21日)

平衡木

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2014/DA/lecture9.html

Martin J. Dürst

© 2009-14 Martin J. Dürst 青山学院大学

目次

• 前回のまとめ
• 内部用平衡木
  • 2-3-4 木
  • 赤黒木
  • AVL 木
• 二時記憶用平衡木
  • B 木
  • B+木

前回のまとめ

• 辞書はキーを使って項目の探索、挿入、削除ができる抽象データ型
• 簡単な実装では一部の操作は O(n) 時間がかかる
• 二分木の操作は全て平均で O(log n) が、最悪で O(n)
• 整列と違って、乱数なだによる回復は不可能

二分木の普遍条件の緩和・強化

• 順位キューの実装では完全な順序を部分的な順序に緩和
• 探索木の場合、普遍条件の緩和又は強化を検討

トップダウン 2-3-4 木

(top-down 2-3-4 tree)

• 各ノードの子数は 2、3 または 4
• 子数が k の場合、ノードに k-1 のキーとデータ項目を保持
  (子数が全て 2 の場合、二分探索木と同等)
• ノード内のデータ項目のキーは部分木の分岐点
• 木の高さは一定
• 最下層には子がない (実装上、全部同一の空のノード)

2-3-4 木での探索

• 根から開始
• 現在の頂点で探索キーが発見された場合、対応するデータ項目を返す
• 現在の頂点のキーによって、部分木を選択、再帰的に探索

(2-3-4 木の各操作は二分探索木の拡張)

2-3-4 木での挿入

• 基本動作: 最下層まで探索、キーとデータを挿入
• 最下層の頂点に既に三つの項目がある場合、頂点を分割
• 分割によって、一つ上の層に分岐点を挿入
• 挿入が根まで連鎖する可能性がある
• それを防ぐために、子数が4のノードは予め (下向く探索のとき) 分割
• このような 2-3-4 木をトップダウン 2-3-4 木と呼ぶ

2-3-4 木での削除

• 二分探索木と同様、挿入より複雑
• 削除したい項目を発見 (探索参照)
• 削除したい項目が最下層にない場合、交換できる最下層の項目と交換
• 最下層の項目を削除
• 項目のない頂点ができたら、隣接の頂点から項目を移動
• 移動で対応できないとき、合併
• 合併で対応できないとき、上位層で対応
• 最上位層で対応できないとき、層の数を削減

2-3-4 木の効率

• 高さ h の 2-3-4 木の最大データ項目数: n = 4^h-1
• 高さ h の 2-3-4 木の最低データ項目数: n = 2^h-1
• ⇒ 木の高さが O(log n)
• 各操作に必要な時間は木の高さに比例のため、O(log n)

2-3-4 木の実装

• Ruby での実装: 9234tree.rb、9driver.rb
• 2-3-4 木の実装は一般的に難しいとされている
• ノードごとのメモリ使用率は低め
• そのため、他の平衡木が提案されてきた

赤黒木

(red-black-tree)

• 2-3-4 木を二分木で実装
• 元の木の辺は黒
• 3子や4子の頂点は複数の頂点に分割、その内部の辺は赤
• 赤辺二つが連続するのが禁止
• 普遍条件が崩されているとき、「回転」で修復
• 黒の辺だけを数えると木の高さが一定
• 葉の最大の深さは最小の深さの二倍以内

AVL 木

(AVL-tree)

• Adelson-Velskii と Landis (Адельсон-Вельский と Ландис) が 1962 年に提案
• 最古の平衡木 (二分木)
• 制約 (普遍条件): どの頂点 (ノード) でも、左と右の部分木の高さの差は 1 以下
• 部分木の高さの差 (-1, 0, 1) を内部節に保持、更新
• 高さが 1.44 log₂ n に限定
• 検索は赤黒木より少し速い
• 挿入・削除は赤黒木より少し遅い

二次記憶装置

(secondary storage)

• 内部メモリは
  • ワード単位でアクセス
    (現在のマシンで 32ビットや64ビット)
  • アクセスは非常に速い (ナノ秒単位)
• 二次記憶装置 (HD, SSD など) は
  • 一気に大量のデータにアクセス
    (1ページ、512バイト~4096バイトなど)
  • アクセスは非常に遅い (ミリ秒単位)

(テープなどは線形アクセス限定のため論外)

B 木

(B-tree)

• 2-3-4 木の変形
• 一つのページは一つの頂点
• ページごとのキーの容量を最大化
• ページごとの最低のキーの数は容量の半分程度

B 木のページ

B+木

• キー以外のデータを最下層だけに配置
• 内部節のキーの数、子供の数を増加
• 木の高さを削減

理由:

• 実用的な利用の場合、キーの大きさがデータの大きよりかなり小さい
• データへのアクセスは木の高さに比例

B+木の内部ページ

B+木の最下層のページ

B+木関連の変数の定義

• n: データ項目の総数 (具体例: 50,000)
• L_p: ページの大きさ (具体例: 1024バイト)
• L_k: キーの大きさ (具体例: 4バイト)
• L_d: キーを抜く一項目のデータの大きさ (具体例: 240バイト)
• L_pp: ページ番号 (ポインタ) の大きさ (具体例: 4バイト)
• α_min: 最低占有率 (普通は 0.5)

B+木: ページごとの項目数

(⌊a⌋ は a の床関数、a 以下の最大の整数)

• d_max = ⌊L_p / (L_k + L_d)⌋ (具体例: 4)
  (葉の最大項目数)
• d_min = ⌊d_max α_min⌋ (具体例: 2)
  (葉の最低項目数)
• k_max = ⌊L_p / (L_k + L_pp)⌋ (具体例: 128)
  (内部節の最大の子供の数)
• k_min = ⌊k_max α_min⌋ (具体例: 64)
  (内部節の最低の子供の数)

B+木のノードの数

(⌈a⌉ は a の天井関数、a 以上の最小の整数)

• Nd_max = ⌈n / d_min⌉ (具体例: 25,000)
  (葉の最大数)
• Nd_min = ⌈n / d_max⌉ (具体例: 12,500)
  (葉の最低数)
• Nk_max = ⌈Nd_max / k_min⌉ + ⌈Nd_max / k_min²⌉ ...
  (内部節の最大の数)
  (具体例: 391 + 7 + 1 = 399; B+木の高さ: 4; 節総数: 25,399)
• Nk_min = ⌈Nd_min / k_max⌉ + ⌈Nd_min / k_max²⌉ + ...
  (内部節の最低の数)
  (具体例: 98 + 1 = 99; B+木の高さ: 3; 節総数: 12,599)

まとめ

• 2-3-4 分木と B(+)木では 2分木の次数が増加が、高さが一定
• 赤黒木や AVL木では部分木の高さの一定の制限
• 平衡木によって辞書の基本操作は全て O(log n)
• 二次記憶装置で B 木、B+木はファイルシステムやデータベースなどで非常に重要