情報数学 I

第十三回: 復習

O 棟 529号室

テュールストマーティンヤコブ

次の証明のどこがおかしいのかを見つけてください。

全てお互いに平行ではない平面上の直線 n 本は全て一つの点を共通する。
証明:
1. 基底: n=1 と n=2 の場合に明らかである。
2. 帰納: n+1 本の場合、最初の n 本にも、最後の n 本にも共通点があるので全ての n+1 本に共通点がある。

正解: 基底は n=2 まで成り立つが、帰納は n=3 からしか有効ではない。

次の式を考えよう:

1 = 1

3 + 5 = 8

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 + 19 = 64

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125

この式に秘めている法則を仮説として明確にして、数学的帰納法で証明して下さい。

全てある集合 A の中の関係 R

反射的 (reflexive): 全ての x∈A に対して、x は自分と関係がある。
対称的 (symmetric): 全ての x, y∈A に対して、x から y の関係があれば y から x の関係もある。
推移的 (transitive): R = R∘R; R を自分と合成しても変わらない。
反対称的 (asymmetric): x から y の関係とy から x の関係が両方存在するとx と y が同じ。x と y が同じでない場合、x と y の間の関係は両方向には存在しない。


	集合	ビット毎演算
`B`	`n` の元を含む集合のベキ集合	`n` ビットのビット列	お互いに素の整数 `n` 個とその全ての組み合わせの積からなる集合とその間で「割れる」と言う関係で定義された半順序	`n` 次元の立方体の頂点
0	空集合	全て 0 のビット列	1	原点の頂点
1	全集合	全て 1 のビット列	全てのお互いに素の数の積	単位点の頂点
¬	補集合	ビット毎否定	1 をその数で割ったもの	真反対の頂点
∧	積集合	ビット毎論理積	二つの数の最大公約数
∨	和集合	ビット毎論理和	二つの数の最小公倍数

量記号の場合の注意点: